[이것이 코딩테스트다] 다이나믹 프로그래밍(DP) 문제 - 1로 만들기

 

문제

정수 X가 주어질 때 정수 X에서 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.

1. X가 5로 나누어떨어지면, 5로 나눈다. 

2. X가 3으로 나누어떨어지면, 3으로 나눈다.

3. X가 2로 나누어떨어지면, 2로 나눈다.

4. X에서 1을 뺀다.

 

정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 

연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오. 

 

예를 들어, 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값이다. 

1. 26-1 = 25

2. 25/5 = 5

3. 5/5 = 1

 

입력 조건

첫째 줄에 정수 X가 주어진다. (1<=X <= 30,000)

 

출력 조건

첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

 

입력 예시

26

 

출력 예시

3

 

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문제 풀이

1. DP 테이블 정의

- dp[i]를 정수 i를 1로 만들기 위한 최소 연산 횟수라고 정의한다.

 

2. 점화식 도출

- dp[i]는 이전 단계에서 최소 연산 횟수를 가진 값에서 1을 더한 값으로 갱신된다. 

- 사용할 수 있는 연산:

> dp[i-1] + 1 : 1을 빼는 경우

> dp[i//2] + 1 : 2로 나누어 떨어지는 경우

> dp[i//3] + 1 : 3으로 나누어 떨어지는 경우

> dp[i//5] + 1 : 5로 나누어 떨어지는 경우

 

따라서, 점화식은 다음과 같다. 

$dp[i] = min(dp[i-1], dp[i//2], dp[i//3], dp[i//5]) + 1$

단, i가 2,3,5로 나누어떨어질 때만 해당 연산을 고려한다.

 

3. 초기 조건 정의

- dp[1] = 0 -> 1은 이미 1이므로 연산이 필요 없음.

 

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전체 코드

import sys

def make_one(x):
    dp = [0] * (x + 1)  # DP 테이블 초기화 (최소 연산 횟수 저장)

    for i in range(2, x + 1):  # 2부터 X까지 차례로 연산
        dp[i] = dp[i - 1] + 1  # 1을 빼는 경우 (기본 연산)

        if i % 2 == 0:  # 2로 나누어 떨어지는 경우
            dp[i] = min(dp[i], dp[i // 2] + 1)
        
        if i % 3 == 0:  # 3으로 나누어 떨어지는 경우
            dp[i] = min(dp[i], dp[i // 3] + 1)

        if i % 5 == 0:  # 5로 나누어 떨어지는 경우
            dp[i] = min(dp[i], dp[i // 5] + 1)

    return dp[x]

# 입력 받기
x = int(sys.stdin.readline().strip())  # 빠른 입력 처리
print(make_one(x))

• Bottom-Up 방식으로 1부터 X까지 한 번씩 계산.
• 각 i에 대해 최대 4번의 비교 연산만 수행.
• 따라서 시간 복잡도는 O(N)으로 매우 빠름.